[Integral yang dimaksud dalam post ini yaitu operator matematika berbentuk mirip cacing yang kita temui pertama kali di SMA.]
Integral itu mudah, jika kita tahu apa maknanya. Dan menyenangkan, jika kita mengenalnya.
Analoginya adalah teman. Bagi kita, teman merupakan makhluk yang menyenangkan. (editor’s note: Tidak selalu menyenangkan sih). Mereka menyenangkan karena kita tahu banyak tentang mereka. Kita tahu latar belakang mereka. Informasi-informasi yang lucu dan memalukan dari mereka (Fun facts). Bandingkan dengan orang asing. Bagi kita, orang asing tidak terlalu menarik karena kita belum mengenal mereka.
Post ini semoga dapat menjadikan integral sebagai teman kita.
Kenapa integral? Kenapa tidak yang lain?
Mengerti integral dapat membantu kita dalam mengarungi mathematical dan science life. Hmm… mungkin social life kita yang tidak terlalu terbantu. 🙂
Our Old Friend Integral
Di SMA, kita mengenal integral sebagai luasan di bawah kurva.
Saat soal ujian bertanya, carilah luas di bawah kurva tertentu. Ah… kita langsung memakai integral untuk menemukan jawabannya. Semisal ada fungsi parabola y=-x^2 + 4. Luasan di bawah kurva dari x=-2 sampai x=2 yaitu
Boring. Cuma begini saja? Yeah.. agree, sejauh ini. Mungkin akan lebih menarik, jika kita melihat behind the scene bagaimana integral itu mencari luas?
Integral: Behind the Scene
Ada 4 resep yaitu (1) potong-potong, (2) aproksimasi, (3) jumlahkan, dan (4) integralkan. Saking pentingnya, kita ulangi lagi: potong-potong, aproksimasi, jumlahkan, dan integralkan.
Dengan diberikan tugas harus mencari luasan di bawah kurva, kita bisa membayangkan integral berpikir, “Oh man… this is hard. Bagaimana mencari luas di bawah kurva yang melengkung itu. Tapi tunggu dulu, saya tahu cara mencari luas persegi panjang. Bagaimana kalau saya coba saja potong-potong daerah di bawah kurva tersebut.” Integral tampaknya menggunakan prinsip: Do it first. Ask later.
Integral memberanikan diri mengganti daerah di bawah kurva dengan serangkaian persegi panjang. Total luas di bawah kurva dihitung dengan menjumlahkan luas tiap persegi panjang tersebut. Hasilnya memang tidak akurat, tetapi itu dipikir nanti saja.
Sekarang tinggal mencari berapa luas tiap-tiap persegi panjang. Inilah tahap aproksimasi.
Kita lihat bagaimana integral mengganti daerah di bawah kurva yang melengkung dengan persegi panjang.
Kurva melengkung? … hard stuff. Gantikan dengan bentuk yang lebih sederhana seperti persegi panjang. Panjangnya mengambil nilai fungsi di suatu titik (tinggi kurva di titik tersebut) dan lebarnya merupakan jarak spacing. Yang di zoom di gambar di atas baru satu persegi panjang. Untuk persegi panjang yang lain, luasnya dihitung dengan cara yang sama.
Langkah berikutnya cukup jelas. Luas-luas persegi panjang tersebut dijumlahkan.
Hasilnya lumayan bagus, tetapi masih kurang akurat. Ketidakakuratan ini terlihat dari daerah di bawah kurva yang masih belum terarsir sepenuhnya oleh persegi panjang-persegi panjang kita. Kira-kira apa ya yang bisa kita lakukan untuk mengurangi error ini? Hmm… bila kita perkecil lebar spacing (delta x), persegi panjang kita akan semakin memenuhi ruang di bawah kurva itu.
Dan memang inilah yang akan dilakukan integral, memperkecil lebar spacing. Tetapi integral membawanya ke tingkat ekstrim dengan membuat lebar spacing kecil sekali, sangat dekat dengan 0.
So, inilah integral. You must be impressed with what integral has done :). Integral menggantikan daerah di bawah kurva dengan persegi panjang-persegi panjang yang sangat langsing dan jumlahnya begitu banyak (mendekati tak terhingga). Dia begitu rapi dan baik melaksanakan tugasnya sehingga kita sampai tidak dapat melihat persegi panjang itu. By the way, tanda S seperti cacing di integral merupakan singkatan dari Summa (penjumlahan) dari bahasa Latin. Dan sekarang kita tahu kenapa dia disebut Summa.
Apa yang telah dilakukan integral mengingatkan kita pada film. Film sebenarnya hanyalah berupa rangkaian gambar statis. Tetapi karena ditransisikan begitu cepat, 30 frame per sekon, membuat kesan bahwa kita sedang melihat gambar bergerak. Begitu juga dengan huruf-huruf di post ini yang muncul di layar komputer kita. Huruf-huruf di post ini sebenarnya hanyalah terdiri dari kotak-kotak (pixel). Begitu kecilnya kotak-kotak tersebut sehingga mengesankan kita sedang melihat huruf yang smooth.
Di post ini diilustrasikan bagaimana integral mencari luas. But integral is more than that. Pencarian luas hanya salah satu kegunaan integral. Namun resepnya tetap sama: potong-potong, aproksimasi, jumlahkan, dan integralkan. Have fun… 🙂
saya masih sedikit bingung… Guru saya sering ngasihsoal yang d suruh gambar kurvanya dulu, tapi saya gak ngerti cara gambarnya. misalnya dik: y=2-x x=-2 x=1. Cara gambarnya gmn? bisa bantuin ga?
mas, post ttg diferensial juga dong….
pengennya sih begitu, mbak sinta. Di masa depan mungkin. Integral kurang lengkap kalau gak ada Derivative. 😀
mas ajooy tolong minta pencerahan behind the scene turunan, gunanya untuk apa….trimaksih
Nanti ya. Aku masukkan dalam to-write list dulu. terima kasih sarannya. 🙂