Siapa yang Menang? Jelas, Achilles lah yang akan menang. Tidak diragukan lagi. Achilles manusia perkasa di zaman Yunani Kuno. Banyak wanita memujanya. Kura-kura? Semua orang tahu jalannya begitu lambat. No chance, even slightly, the tortoise is gonna win.
Tetapi pendapat di atas tidak berlaku bagi Zeno. Zeno, filsuf yang sering bikin pusing orang Yunani dengan paradoksnya, mengatakan dengan lantang kura-kura yang menang. Bukan sarkasme. Memang menurut pendapatnya, kura-kura yang menang.
Hmm interesting.. Bagaimana bisa? Inilah argumen Zeno yang terkenal dengan nama paradoks Zeno.
Paradoks Zeno
Achilles dan kura-kura akan berlomba lari 100 meter. Achilles dapat berlari dengan kecepatan 10 meter per detik, sedangkan kura-kura hanya mampu berlari 5 meter per detik. Uhm.. kura-kura sebenarnya tidak secepat 5 meter per detik sih, tapi –seperti kata guru dan dosen kita– untuk sederhananya kita anggap 5 meter per detik. π
Well, dari head-to-head kecepatan itu, Achilles –selain manusia perkasa juga sportif– berbaik hati memberikan keuntungan start bagi sang kura-kura 10 meter di depannya. Tidak masalah, mungkin begitu pikir Achilles. Jadi, siapa yang menang?
Okay. Kura-kura memulai start 10 meter di depan Achilles. Keduanya lalu mulai berlari.
- Setelah satu detik, Achilles telah mencapai tempat di mana kura-kura memulai start-nya. Sedangkan sang kura-kura sudah berlari 5 meter di depan.
- Achilles berlari lagi dan berhasil mencapai tempat kura-kura berada tadi. Sedangkan sang kura-kura telah berlari 2,5 meter di depan.
- Achilles masih dengan semangat berlari lagi untuk meraih selisih 2,5 meter ini. Di saat yang bersamaan, sang kura-kura telah berlari 1,25 meter di depan.
Hal ini berlangsung terus-menerus. Setiap kali Achilles berhasil mencapai tempat di mana kura-kura berada beberapa saat yang lalu, sang kura-kura lagi-lagi telah menempuh sedikit jarak … dan tetap berada di depan Achilles.
Betapapun kerasnya Achilles berusaha, Achilles hanya mampu memperkecil jarak setengah dari sebelumnya (dari selisih 5 m -> menjadi 2,5 m -> lalu 1,25 m -> lalu 0,625 m dst). Ya.. Achilles tidak akan pernah bisa menyusul kura-kura.
Perlombaan ini mungkin tidak selesai dalam waktu yang ditentukan. Kalaupun penonton bosan dan minta lomba dihentikan, kura-kura tetap berada di depan Achilles. Ini yang membuat Achilles frustrasi dan merasa tidak senang, mungkin dia juga menyesal kenapa membiarkan kura-kura memulai lomba 10 meter di depannya. Penyesalan memang datang belakangan. π
Kenapa Paradoks Zeno Ini Muncul?
Let’s take a closer look. Selisih jarak antara Achilles dan kura-kura digambarkan dalam tabel berikut.
Dari tabel, semakin ke bawah deretan waktu, semakin kecil selisih jarak antara Achilles dan kura-kura. Untuk tahu kapan Achilles bisa menyusul kura-kura, kita harus menambahkan deretan potongan waktu yang paling bawah yang sudah digeneralisir.
Ouch.. mau tidak mau kita harus menambah deret yang bilangannya ada tak terhingga jumlahnya, dari n=0 sampai n menuju tak hingga.
Zeno dan bangsa Yunani kuno merasa tidak nyaman dengan penambahan ini. Mereka berpendapat:Β bila kita menambahkan bilangan-bilangan yang tak terhingga jumlahnya, maka hasilnya menjadi tak terhingga.
Entah bilangan seperti apa itu. Namun bila asumsi ini benar, Achilles membutuhkan waktu yang tak terhingga untuk menyusul kura-kura. Dengan kata lain, Achilles akan kalah.
Argumen zeno ini secara logika tampaknya benar, tapi tidak sesuai dengan kenyataan. Di dunia nyata, Achilles tentu saja menang dengan mudah. Lantas, kenapa logika menunjukkan Achilles tidak mampu menyusul kura-kura?
Yucks… logika sucks. Kita tidak usah percaya lagi dengan logika. Logika ini jelas-jelas menyesatkan seperti yang ditunjukkan di argumen Zeno.
Calculus to The Rescue
Luckily, lahirlah Sir Isaac Newton ke dunia dengan perkakasnya —kalkulus— menyelamatkan logika kita.
Dengan berbekal kalkulus di tangan, kita tahu bagaimana menambahkan bilangan-bilangan yang tak terhingga jumlahnya. Yap.. kita ambil Limit-nya dengan n menuju tak hingga.
Tetapi, ada sedikit manipulasi di sini.
Tinggal menambahkan sentuhan akhir.
Akhirnya, Problem Zeno Terpecahkan
Yippie. Newton beats Zeno. Secara matematis telah kita hitung, Achilles akan menyusul kura-kura setelah tepat 2 detik. Setelah detik kedua ini, dengan mudah Achilles mengungguli kura-kura dan akhirnya memenangkan perlombaan. Perhitungan matematis cocok dengan apa yang terjadi di dunia nyata.
Perhitungan yang lebih sederhana tanpa mengikutsertakan bilangan-bilangan yang tak terhingga jumlahnya juga mengkonfirmasi hasil ini.
Achilles berlari dengan kecepatan 10 meter per detik. Setelah 2 detik, ia akan menempuh jarak 20 meter dari titik start. Kura-kura dengan kecepatan 5 meter per detik, akan mampu menempuh jarak 10 meter setelah 2 detik. Namun kura-kura ini sudah berada 10 meter di depan saat awal lomba, sehingga sama saja kura-kura berada pada jarak 20 meter dari titik start. Dengan kata lain, Achilles dan kura-kura posisinya sejajar saat detik kedua.
Final Thought
Paradoks Zeno muncul karena pada jaman Zeno hidup, kalkulus belum ditemukan. Orang Yunani kuno pada saat itu kebingungan jika dihadapkan pada problem bilangan-bilangan sangat kecil (infinitesimal) seperti problem yang diajukan oleh Zeno di atas dan juga ketidakberhinggaan (infinity). Infinitesimal dan Infinity ini merupakan ciri dari kalkulus.
Pada mulanya kalkulus membosankan dan agak sulit dipelajari. Saya dulu sempat benci kalkulus. Tiap kali ikut kuliah kalkulus, perut rasanya mulas. Tetapi ternyata… Calculus is Fun. Senang bisa sedikit tahu kalkulus. And You can enjoy calculus too. Good day everyone. π
Btw, referensi:
– Β http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/answers/zeno.html
– Post teman Gemabuluk yang juga membahas tentang paradoks Zeno.
ok mantep bro.
pendekatan newton beda juga ya ama pendekatan grafis di blogku.
tapi sama2 cool utk dibaca (^_^)
btw, PERTAMAX! ha3.
yah itu bro, blogmu sudah kupampang jadi referensi di bawah. grafis ama analitis jadi saling nglengkapin… π
kalkulus is fun…? ahahhaha fun, sih kalo aku baca blognya ajoy,, tapi kalo buat ujian tengah semester, ujian akhir semester, terus ada sks nya,, ahahahahha ogahhhhh…
ok2 brarti kalkulusnya emang fun kan. Dan seneng lho klo tau kalkulus. Krn ini kelanjutannya dr aritmetika (+,-,x,/) dan aljabar. Dua hal ini mgkn banyak orang yg tau, tapi belum tentu tahu kalkulus. π
mungkin kita sama ya… dulu pas ikut kul kalkulus, kayaknya horor bgt. Klo gak wajib, gak bakalan mau ikut kuliahnya.
cukuplah kalkulus tau dikit2… hahahhha.. sudah pusing.. apalagi yg namanya ngitung limit limit itu.. fuhhh ngga ngerti2…..
hahaha iya tau dikit juga gak papa, yg penting bisa meng-appreciate kalkulus itu. Kalkulus tidak hanya sekedar ada di soal-soal ujian aja. π
nambah satu lagi geek di wonderland-ku^^
love it! (walau puyeng bacanya…maaf otak saya terbatasuntuk menghafal^^)
ajoooyyyy sorry aku pangling ama tampilan blogmu jadinya kukira ada bloger baru yang geek kayak kamu^^
hahaha alice gimana sih, sampai pangling segala he3..
btw, sdh lama kamu gak muncul di wonderland-mu, sibuk dengan urusan yang ada di real-world ya. π
Keren gan…ijin ngutip
Thanks. Glad it helped. π
mantap gan penjelasannya …
semester 3 kemarin ane mempelajari materi ini….
paradoks zeno yang paling tak ingat cuma 1/2 + 1/4 +1/8 +1/32 +. . .
Terima kasih. π
Postingan ini dulu ditulis karena ingin memahami paradoks zeno. Sebenarnya hampir semua postingan di sini ditulis dalam rangka ingin memahami sesuatu sih. Makanya sub title blog ini aku beri nama “Writing to Learn”.
Boleh tolong bantu hitungin bila archiles di ganti manusia pada umumnya,bagaimana mengkalkulasikannya
Kenapa Sn dikurangi Sn/2?
Terimakasih atas komentarnya.
Sn-Sn/2 trik supaya dapat ekspresi yang tergantung dengan n, sehingga kemudian dapat dilakukan operasi limit.